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神奇!让人叹为观止的分形几何

来源:法国索邦大学理学院 作者:刘嘉良 VIEW: 发布时间:2021-01-07 10:45:15

“分形几何”(fractal geometry),也称分形几何学;它是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何的研究对象为整数维数,如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空,分形几何的研究对象为非负实数维数,如0.63、1.58、2.72等。因为它的研究对象普遍存在于自然界中,因此分形几何又被称为“大自然的几何学”。正如中国著名学者周海中教授说的那样:“分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,还改变了人们理解自然奥秘的方式。”

分形几何艺术图案(图片源自网络)

1973年,美籍法国数学家、分形几何学之父——伯努瓦·曼德尔布罗教授在法兰西科学院讲学期间,率先提出了分形几何的整体思想,并认为分维是个可用于研究许多自然现象的有力工具。这位数学和计算机科学兼通的人物,对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书,特别是《分形——形、机遇和维数》和《自然界中的分形几何学》,开创了新的数学分支——分形几何学。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractal theory)。

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。美国著名学者约翰•惠勒曾经说过:“今后谁不熟悉分形,谁就不能被称为科学上的文化人。”由此可见分形的重要性。分形几何作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。分形几何不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。

分形是客观世界普遍存在的现象,为揭示事物本质提供了新的概念和方法;研究分形是探讨复杂事物的客观规律及其内在联系的需要,也是科学探索的必然。分形几何具有广阔的应用前景,许多学科领域都在开展对分形理论应用的探索和研究。根据分形的观点,自然界中许多难以定量描述的、复杂的形状、事件等都可从中找到自相似结构,并可用分形对其进行描述。例如自然界中的云朵、山脉、海岸线、雪花结构、河流流域的形状;动物中的血管、肺部和大脑的结构等都可观察到分形这一现象;许多植物中也有分形结构。

植物中的分形图案(图片源自网络)

分形几何在数学、物理学、生物学、经济学等许多科学领域中都得到了广泛的应用,甚至对流行文化领域也产生了重要影响。例如在1970年代后期曼德尔布罗集合成为一种文化符号,被大量印制在T恤、棒球帽和帆布包上。今天,人们可以在网络上,浏览与欣赏各种不同风格且优美奇妙的分形作品,这类作品一般是运用迭代法并通过计算机处理才能表现出来的;有的针对科学研究中要表达的一些特别的对象,有的则完全是艺术。美妙神奇的分形图画,有时令人心旷神怡,有时又令人眼花缭乱。

分形几何使我们看到从《星际迷航》《星球大战》直到《指环王》《阿凡达》《让子弹飞》等影片中的一幕幕激动人心的特效场景,把手机天线缩小到能够藏进机身,使飞机仪表板设计得更加一目了然,让屋内装修设计得更加舒适美观......顺带一提,英国的数学“极客”丹尼尔·怀特利用特定的数学方程式,经过反复运用迭代算法,最终创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案;这组图案被著名杂志——《自然》(Nature)评为“2009年度十大科学图片”之一。

三维分形结构图案(图片源自网络)

分形几何为我们提供了一种发现结构和秩序的新方法,不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步,而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。它既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。它揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序。毫无疑问,分形几何的应用将会越来越广泛。

文/刘嘉良(作者单位:法国索邦大学理学院)

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