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阅读 3852 次 历史版本 1个 创建者:阿德 (2010/7/2 14:08:36)  最新编辑:阿德 (2010/7/2 14:08:46)
幾何學
拼音:jihexue
英文:geometry
同义词条:几何
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  幾何學(geometry),研究空間關係的數學分支分科,有時簡稱爲幾何。是近代數學的兩大領域之一,另外一個是研究數量關係的領域。現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高,並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合,很多分支幾乎無法認出是從早期的幾何學傳承而來。

  幾何學據說是起源於古埃及尼羅河泛濫後爲整修土地而產生的測量法,它的外國語名稱geometry就是由geo(土地)與metry(測量)組成的。泰勒斯曾經利用兩三角形的等同性質,做了間接的測量工作;畢達哥拉斯學派則以勾股定理等著名。在中國古代早有勾股測量,漢朝人撰寫的《周髀算經》的第一章叙述了西周開國時期(約公元前1000)周公姬旦同商高的問答,討論用矩測量的方法,得出了著名的勾股定律,並擧出了“勾三、股四、弦五”的例子。在埃及產生的幾何學傳到希臘,然後逐步發展起來而變爲理論的數學。哲學家柏拉圖(公元前429~前348)對幾何學作了深奧的探討,確立起今天幾何學中的定義、公設、公理、定理等概念,而且樹立了哲學與數學中的分析法與綜合法的概念。此外,梅内克繆斯(約公元前340)已經有了圓錐曲線的概念。

  幾何一詞源於《幾何原本》的翻譯。《幾何原本》是世界數學史上影響最爲久遠,最大的一部數學教課書。《幾何原本》傳入中國,首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻是確定了研究圖形的這一學科中文名稱爲“幾何”,並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。“幾何”的原文是“geometria”,徐光啟和利瑪竇在翻譯時,取“geo”的音爲“幾何”,而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“幾何”譯“geometria”,音義兼顧,確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語,如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名,都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天,且東渡日本等國,影響深遠。

  希臘文化以柏拉圖學派的時代爲頂峰,以後逐漸衰落,而埃及的亞曆山大學派則漸漸繁榮起來,它長時間成了文化的中心。歐幾里得把至希臘時代爲止所得到的數學知識集其大成,編成十三卷的《幾何原本》,這就是直到今天仍廣泛地作爲幾何學的教科書使用下來的歐幾里得幾何學(簡稱歐氏幾何)。徐光啟於1606年翻譯了《幾何原本》前六卷,至1847年李善蘭才把其餘七卷譯完。“幾何”與其說是geo的音譯,毋寧解釋爲“大小”較爲妥當。誠然,現代幾何學是有關圖形的一門數學分科,但是在希臘時代則代表了數學的全部。歐幾里得在《幾何原本》中首先叙述了一些定義,然後提出五個公設和五個公理。其中第五公設尤爲著名:如果兩直線和第三直線相交而且在同一側所構成的兩個同側内角之和小於二直角,那麼這兩直線向這一側適當延長後一定相交。《幾何原本》中的公理系統雖然不能說是那麼完備,但它恰恰成了現代幾何學基礎論的先驅。直到19世紀末,D.希爾伯特才建立了嚴密的歐氏幾何公理體系。
  
  第五公設和其餘公設相比較,内容顯得複雜,於是引起後來人們的注意,但用其餘公設來推導它的企圖,都失敗了。這個公設等價於下述的公設:在平面上,過一直線外的一點可引一條而且隻有一條和這直線不相交的直線。Η.И.羅巴切夫斯基和J.波爾約獨立地創建了一種新幾何學,其中颺棄了第五公設而代之以另一公設:在平面上,過一直線外的一點可引無限條和這直線不相交的直線。這樣創建起來的無矛盾的幾何學稱爲雙曲的非歐幾里得幾何。(G.F.)B.黎曼則把第五公設換作“在平面上,過一直線外的一點所引的任何直線一定和這直線相交”,這樣創建的無矛盾的幾何學稱橢圓的非歐幾里得幾何。
  
  在文藝複興以後的歐洲,代數學由於受到阿拉伯的影響而迅速發展。另一方面,17世紀以後,數學分析的發展非常顯著。因此,幾何學也擺脱了和代數學相隔離的狀態。正如R.笛卡兒在其名著《幾何學》中所說的一樣,數與圖形之間存在着密切的關係,在空間設立坐標,而且以數與數之間關係來表示圖形;反過來,可把圖形表示成爲數與數之間的關係。這樣,按照坐標把圖形改成數與數之間的關係問題而對之進行處理,這個方法稱爲解析幾何。恩格斯在其《自然辯證法》中高度評價了笛卡兒的工作,他指出:“數學中的轉摺點是笛卡兒的變數,有了變數,運動進入了數學,有了變數,辯證法進入了數學,有了變數,微分和積分也就成爲必要的了,……”事實上,笛卡兒的思想爲17世紀數學分析的發展提供了有力的基礎。到了18世紀,解析幾何由於L.歐拉等人的開拓得到迅速的發展,連希臘時代的阿波羅尼奧斯(約公元前262~約前190)等人探討過的圓錐曲線論,也重新被看成爲二次曲線論而加以代數地整理。另外,18世紀中發展起來的數學分析反過來又被應用到幾何學中去,在該世紀末期,G.蒙日首創了數學分析對於幾何的應用,而成爲微分幾何的先驅者。
  
  如上所述,用解析幾何的方法可以討論許多幾何問題。但是不能說,這對於所有問題都是最適用的。同解析幾何方法相對立的,有綜合幾何或純粹幾何方法,它是不用坐標而直接考察圖形的方法,歐幾里得幾何本來就是如此。射影幾何是在這思想方法指導下的產物。早在文藝複興時期的意大利盛行而且發展了造型美術,與它隨伴而來的有所謂透視圖法的研究,當時有過許多人包括達·芬奇在内把這個透視圖法作爲實用幾何進行了研究。從17世紀起,G.德紮格、B.帕斯卡把這個透視圖法加以推廣和發展,從而奠定了射影幾何。分别以他們命名的兩個定理,成了射影幾何的基礎。其一是德紮格定理:如果平面上兩個三角形的對應頂點的連線相會於一點,那麼它們的對應邊的交點在一直線上;而且反過來也成立。其二是帕斯卡定理:如果一個六角形的頂點在同一圓錐曲線上,那麼它的三對對邊的交點在同一直線上;而且反過來也成立。18世紀以後,J.-V.彭賽列、Z.N.M.嘉諾、J.施泰納等完成了這門幾何學。
  
  按照解析幾何的方法,平面和普通空間可以分别表示成二維和三維歐幾里得空間(簡稱歐氏空間)E2和E3。爲了一般化這些空間,用n個實數的序列(x1,x2,…,xn)定義一點,而且定義兩點(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)間的距離爲。這樣定義起來的是n維歐氏空間En。研究E2、E3的圖形的學科,分别稱爲平面幾何和立體幾何。同樣,關於射影幾何和非歐幾何也可把它們擴大爲n維射影空間和n維非歐空間。對於上述的各種幾何學如何進行分類,是(C.)F.克萊因在其埃爾朗根規劃中所提出的問題,他把幾何學和群論聯繫起來。這個思想大致如下:

  設{P}是某一集合,P是它的代表元素,稱爲點,G是這集合的一對一的可遞變換群。群G給予{P}中的圖形(即點組)以一個分類法,就是:對於兩個圖形,當且僅當G中有一個變換使其一個圖形變爲另一圖形時,這兩個圖形屬於同一類;並稱這兩個圖形爲等價或重合圖形。由於G是可逆群,等價關係也是可逆的,即:如果對於三個圖形F1,F2,F3,其中F1與F2等價,且F2與F3等價,那麼F1與F3也等價。在點集{P}具有這樣分類的基礎上,把這個分類看作點集{P}的結構,那麼{P}是一個空間,且G是它的自同構群凡同一類里的一切圖形所共有的任何性質,稱爲關於G的不變性質,而且有時把關於G 的不變性質的研究取爲這空間的幾何學的特征,也就是把群 G的不變量理論取爲這空間的幾何學的特征。這種分類法給出了一種幾何學的定義,或者說:有了一個可逆變換群G,就有一種隸屬於G的幾何學,即克萊因幾何學。按照所取的變換群爲運動群、仿射變換群、射影變換群、共形變換群之不同,隸屬於各群的幾何學分别是歐幾里得幾何學仿射幾何學射影幾何學和共形幾何學。非歐幾何則被包括在特殊的射影幾何之中。在克萊因分類法下,一對一的連續變換群所隸屬的幾何學,過去被稱爲位置分析,現在已經獨立發展爲拓撲學。另一方面,射影空間中由代數多項式定義的曲線、曲面以至於一般的代數簇也成爲長期的、重要的研究對象,於是形成了代數幾何
  
  18世紀以後,微分幾何學逐步形成爲一門數學分科,對它作出最大貢獻的是C.F.高斯。他特别地奠定了曲面論的基礎,其中曲面上的幾何尤爲突出。意大利數學家E.貝爾特拉米應用高斯-博内公式到負常數高斯曲率的曲面(即擬球)上,從此作出了著名的非歐幾何的模型。法國數學家(J.-)H.龐加萊把歐氏上半平面看作一個有特定線素(度規)的“曲面”,而且以曲面上的幾何實現了非歐幾何的龐加萊模型。這樣,長期間成了人們疑問的非歐幾何真假問題,至此得到完全解決。微分幾何在古典意義下是研究 E2、E3 的曲線、曲面等圖形的局部性質的一門分科,按照克萊因分類法該是隸屬於運動群的幾何。當采取另一個變換群時,可造出另外的微分幾何。20世紀20年代,以G.富比尼爲首的意大利學派創建了射影微分幾何學,以W.J.E.布拉施克爲首的漢堡學派創建了仿射微分幾何學、共形微分幾何等,後來,法國的é.(-J.)嘉當、中國的蘇步青等改善並豐富了這方面的内容。
  
  高斯的曲面論經過他的學生黎曼的拓廣,發展爲n維黎曼幾何學,其中包含着非克萊因幾何學的成分。它經過一些數學家,如E.B.克里斯托費爾、G.里奇、T.列維-齊維塔等的努力,得到很大的發展。自從愛因斯坦將它應用到廣義相對論以來,特别引起了學術界的注目。開始時,張量分析是黎曼幾何學的主要工具,é.嘉當引進了外微分形式和活動標架法,使它有了新的面目。在黎曼空間的各點設想一個切歐氏空間,並對二鄰近空間賦予等度量的對應,便構成歐氏聯絡。同克萊因幾何相類似,當考察一個n維空間而來用仿射聯絡時,便穫得A.S.愛丁頓的仿射聯絡空間;當把仿射聯絡換作射影聯絡時,便有外爾幾何;當共形聯絡被采用時,便得到共形聯絡空間幾何,等等。上述幾種作爲黎曼幾何拓廣的幾何學,也是從相對論的需要產生的。20世紀以來,從黎曼幾何還產生了更一般的以曲線長度積分爲基礎的芬斯拉空間幾何,以超曲面面積積分爲基礎的嘉當空間,以二階微分方程組爲基礎的道路空間和 K展空間的幾何學,通稱一般空間微分幾何。從30年代後期開始,中國蘇步青、嚴志達、穀超豪等先後對於一般空間微分幾何學的發展,作出了許多重要貢獻。
  
  上述各種微分幾何,主要是以圖形和空間的局部爲着眼點而開展的局部微分幾何,即屬於古典範疇的數學分科。今天,幾何學和數學的其他領域的相互滲透更爲深入了,它與代數學、數學分析之間有許多公共的研究領域。與局部微分幾何不相同,對所給定的圖形或空間研究其整體的性質,即所謂大域的性質,這個分科稱整體微分幾何。20世紀20年代,布拉施克在卵形線和卵形面的研究中,最初強調了現代微分幾何必須以探討微分幾何的(局部的)性質與大域的性質間的聯繫爲目標,例如,康·福生關於卵形面剛性的研究屬於這個範疇,此外,還有關於測地線、極小曲面的研究等等。黎曼幾何被看成爲一個具有非退化的二次微分形式的微分流形,穫得了顯著的進展。H.霍普夫等在20世紀20年代對黎曼流形的微分幾何結構和拓撲結構的聯繫問題作了研究。隨着微分流形概念的逐步明確化、李群的整體理論的進展和拓撲學的發展,1944年陳省身發展了纖維叢的理論,不僅用之證明了高維黎曼流形上的高斯-博内公式,而且提出了複流形上的陳示性類,對於微分幾何學、代數幾何、多複變函數論有重要影響。W.V.D.霍奇創立了調和積分論,是德·拉姆上同調論的進一步發展。根據1950年C.埃雷斯曼的研究,以G爲基本群的聯絡幾何可以被看成是一個微分流形M上的這樣的一次微分形式,這種一次微分形式就是M上以G 爲構造群的纖維叢上的所謂聯絡形式。這樣,整體微分幾何在與李群、拓撲學乃至古典微分幾何、變分學、微分形式論、代數幾何、多複變函數論等許多分科的聯繫下,大幅度地發展起來。在中國繼老一輩幾何學家之後,又出現了一批研究者活躍在現代微分幾何這一領域里。近年來,以偏微分方程和非線性分析爲工具來研究整體微分幾何已成爲一個重要的研究方向,丘成桐就是一個代表人物,他在這方面的研究於1983年穫費爾茲獎。
  

分支學科


  平面幾何
  立體幾何
  非歐幾何
    羅氏幾何
    黎曼幾何
  解析幾何
  射影幾何
  仿射幾何
  代數幾何
  微分幾何
  計算幾何
  拓撲學






    2
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